Одно из фундаментальных свойств евклидовой геометрии утверждает, что сумма внутренних углов любого треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим это свойство подробно.
Содержание
Основная теорема
В любом треугольнике ABC сумма величин его внутренних углов удовлетворяет равенству: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Геометрическое доказательство
- Проведем через вершину B прямую a, параллельную стороне AC
- Обозначим углы при прямой a как α и β
- Угол α равен углу A как накрест лежащие при параллельных
- Угол β равен углу C как накрест лежащие при параллельных
- Углы α, B и β образуют развернутый угол, равный 180°
- Следовательно, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
Практические следствия
| Следствие | Описание |
| О внешнем угле | Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним |
| О прямоугольном треугольнике | Сумма острых углов равна 90° |
| О равностороннем треугольнике | Все углы по 60° |
Алгебраическое доказательство
- Рассмотрим произвольный треугольник ABC
- Через все три вершины проведем прямую
- Сумма углов на одной стороне прямой равна 180°
- Выразим все углы через внутренние углы треугольника
- После преобразований получим ∠A + ∠B + ∠C = 180°
Пример вычисления
В треугольнике известны два угла: 45° и 60°. Найдем третий угол:
- 45° + 60° + x = 180°
- x = 180° - (45° + 60°) = 75°
Исключения в других геометриях
В неевклидовых геометриях сумма углов треугольника отличается:
| Геометрия | Сумма углов |
| Сферическая | Превышает 180° |
| Гиперболическая | Меньше 180° |
Теорема о сумме углов треугольника в 180 градусов является краеугольным камнем евклидовой геометрии и находит многочисленные применения в решении геометрических задач и практических расчетах.
