Сумма внешних углов выпуклого многоугольника является важной характеристикой в геометрии, которая имеет постоянное значение независимо от количества сторон фигуры.
Содержание
Основная теорема о сумме внешних углов
Для любого выпуклого n-угольника сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 360 градусам. Это утверждение справедливо независимо от количества сторон многоугольника.
Формула суммы внешних углов
Σα = 360°
где Σα - сумма всех внешних углов многоугольника
Доказательство теоремы
- В каждой вершине многоугольника внешний угол дополняет внутренний до 180°
- Сумма внутренних углов n-угольника равна (n-2)×180°
- Общая сумма углов при вершинах (внутренних и внешних) равна n×180°
- Вычитая сумму внутренних углов, получаем сумму внешних: n×180° - (n-2)×180° = 360°
Примеры для различных многоугольников
| Многоугольник | Количество сторон | Сумма внешних углов |
| Треугольник | 3 | 360° |
| Четырехугольник | 4 | 360° |
| Пятиугольник | 5 | 360° |
| Шестиугольник | 6 | 360° |
Свойства внешних углов
- Каждый внешний угол смежен с соответствующим внутренним углом
- Внешний угол равен разности между 180° и внутренним углом
- В правильном многоугольнике все внешние углы равны
- Величина одного внешнего угла правильного n-угольника равна 360°/n
Практическое значение
Знание суммы внешних углов многоугольника применяется в:
- Архитектуре и строительстве
- Геодезических измерениях
- Компьютерной графике
- Конструировании механизмов
Вывод
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника всегда составляет 360 градусов, что является фундаментальным свойством евклидовой геометрии. Это постоянство делает данную характеристику особенно полезной при решении различных геометрических задач.
